Propiedades de números enteros

 

Propiedades de los números enteros

Los números enteros conservan algunas de las propiedades de los números naturales, también cuentan con unas nuevas y carecen de otras.  Veamos:

Relación entre los números enteros y los números naturales

Según como hemos definido las cosas, cada elemento de los números naturales hace parte también del conjunto de los números enteros

Recuerda que cuando esto ocurre entre dos conjuntos decimos que uno está contenido en el otro.

En este caso podemos escribir  (los naturales están contenidos en los enteros), es decir,  es un subconjunto de .

Operaciones en el conjunto de los números enteros

Además de poder representar cantidades enteras positivas, los números enteros nos permiten representar cantidades enteras negativas.  Por esta razón cuando sumamos o restamos números enteros el resultado seguirá siendo un número entero.

Piensa qué pasa si sumas dos o más deudas: supongamos que le debes tres dulces a tu amigo Carlos y uno a tu amiga Ana.  Para saber cuántos dulces debes en total hay que sumar las deudas, es decir, sumar números enteros, obteniendo como resultado la deuda total, o sea otro número entero.

Suma 4 + 8 = 12

Multiplicación= 3 x 5 =15

Resta 4 - 9 = -5

División 4/2 =2

                 8 /3 = ?

Si representamos numéricamente esta situación tendremos que con respecto a Carlos tienes  dulces, y con respecto a Ana tienes  dulce, por lo tanto en total debes  dulces.  Esto quiere decir que  más  es : .

Hay tres operaciones entre números enteros que tienen como resultado números enteros: la suma, la resta y la multiplicación.  Como te puedes dar cuenta esta es una ventaja de los enteros sobre los naturales, en ellos está permitida una operación más, la resta.

¿El primer entero?

Una de las propiedades de  (los naturales), es que existe un primer elemento del conjunto.  ¿Crees que pasa lo mismo en el conjunto  (los números enteros)?  Como  contiene cada elemento de los números naturales y sus negativos, se extiende indefinidamente tanto positiva, como negativamente.  Es decir,  no puede tener un primer elemento.  Los puntos suspensivos en la expresión:  indican que las partes positiva y negativa son infinitas.

El sucesor de un número entero

Como en el caso de los números naturales, cada vez que fijemos un número entero podremos determinar su sucesor, es decir, el número entero siguiente.  Para la parte positiva, los naturales, el sucesor sigue siendo el mismo, el número que representa una unidad más.  Debe pasar lo mismo entonces para la parte negativa.

¿Cuál será el sucesor de ?  Supón que tienes  naranjas, o sea, debes  naranjas.  Si consigues pagar una (sumas una) ¿cuántas deberías ahora?  La respuesta es que ahora deberías solamente  naranjas.  Es decir, hemos encontrado que el sucesor de  es .  Lo mismo pasa con el resto de los números negativos.

¿Qué son los números racionales o fraccionarios?

No todas las cantidades se pueden representar a través de números naturales o enteros, aprende qué son los números racionales aquí.

Observa la siguiente situación: tres amigos cavernícolas salen en búsqueda de frutas para recolectar.  Pasan todo el día buscando y solo encuentran cuatro sandías.  Si reparten todo lo que encontraron en porciones iguales,  ¿cuánto corresponde a cada uno de ellos?

Les debe pertenecer más de una sandía pues ellos son tres y lograron recolectar más que ese número.  Les correspondería dos si hubieran encontrado seis, pero no encontraron sino cuatro.  Así, el número que representa la cantidad de sandía que les corresponde se encuentra entre  y .

¿Conoces algún natural o entero que represente cuánto corresponde a cada uno?  Fíjate que queremos representar el resultado de dividir una cantidad entera en cierto número de partes iguales, en este caso dividir cuatro entre tres.  Necesitamos los símbolos adecuados para simbolizar tales divisiones:

Supongamos que  y  son dos números enteros, es decir: .  Cuando queramos distribuir la cantidad  en  partes iguales, escribiremos  para representar cada una de esas partes.

Llamaremos numerador al número de arriba y denominador al de abajo.

Volviendo al ejemplo de nuestros amigos cavernícolas, como se quieren dividir cuatro sandias en tres partes iguales, representamos cada parte con la expresión , que podemos leer simplemente como "cuatro sobre tres".  En este caso,  es el numerador y  es el denominador. 

Una forma de solucionar el problema de los tres amigos es dar a cada uno una sandía y dividir la restante en tres, dando a cada uno la fracción que le corresponde.

Tenemos ahora los símbolos necesarios para representar no solo unidades enteras, sino que además podremos representar fracciones o partes de unidad.

Llamaremos conjunto de números racionales o conjunto de números fraccionarios, al conjunto de todas las posibles expresiones del tipo  donde  y  son números enteros y  es diferente de cero. Representaremos este conjunto por medio del símbolo .

Por ejemplo, los números  y  hacen parte del conjunto de los números enteros, por lo tanto la expresión  pertenece al conjunto de los fraccionarios, es decir: .

Los números enteros negativos también son tenidos en cuenta a la hora de representar fracciones, las expresiones ,  o  también pertenecen a .

Podemos describir el conjunto de los números racionales o fraccionarios por comprensión así:

La anterior expresión debe ser leída así: “ es el conjunto de las expresiones  tales que  y  son números enteros y  es diferente a cero”.